Вступ до сучасної логіки
§ 13. Відмітні риси логіки предикатів
Символічну логіку поділяють на логіку висловлень і логіку предикатів. Логіка предикатів ґрунтуєтн ся на логіці висловлень.
Якщо логіка висловлень ігнорує структуру простих ви-« словлень, вивчаючи тільки правильність зв'язків між ними, тЛ логіка предикатів зосереджує свою увагу саме на структур висловлень
У логіці предикатів розрізняють логіку предикатів пер* того ступеня (порядку) і логіку предикатів більш високая ступенів (порядків).
З часів Арістотеля (384— 322 до н. е.) у логіці існує поняття «судження». Давньогрецький філософ означав його як думку, що стверджує чи заперечує що-небудь про що-небудь.
Структурно судження складається з суб'єкта, предиката й дієслова-зв'язки. Так, у судженні «Хома Брут є київський філософ» ім'я «Хома Брут» є суб'єктом (5), вираз «київський філософ» — предикатом (Р), а дієслово «є» -І зв'язкою.
Наприкінці XJX ст. математик і логік Г. Фреге піддай гострій критиці традиційне тлумачення структури суджея ня, продемонструвавши своє критичне ставлення до ція традиції на прикладі двох речень:
«Греки завдали поразки персам при Платеях»; «Перси були розбиті греками при Платеях».
Граматична відмінність між цими реченнями полягає І зміні активної форми («греки завдали») на пасивну («роя биті греками»), тобто в першому реченні суб'єктом є «греки», а в другому — «перси».
У живій мові часто буває так: те, що раніше виступало у ролі суб'єкта (підмета), відносно легко може стати предикатом (присудком), і навпаки. Але в такому разі відмінність має лінгвістичний характер, а не строго логічний. Незважаючи на це, дані речення мають одне й те саме значення істинності. У зв'язку з цим Фреге вважав, що словесний порядок, який спирається на граматичне розмежування суб'єкта й предиката, не має значення для логіки.
Необхідність переосмислити сутність іменування в логіці була зумовлена введенням Фреге понять «функція» і «аргумент». На його думку, номінативний вираз («ім'я») можна поділити не тільки на суб'єкт й предикат, а й на функцію і аргумент, що більше відповідає логіці, яка орієнтується на математику, а не на психологію чи лінгвістику. Вчений неодноразово наголошував, що поняття «функція» і «аргумент» лише маркірують структурні особливості певного виразу, не зачіпаючи його смислового змісту.
Запропонований фрегівський погляд на процес номінації (іменування) був корисним для логіки тим, що давав змогу користуватися під час логічного аналізу теоретико-множинними уявленнями (наприклад: функція як відображення однієї множини в іншій множині), в результаті чого предикат стали розглядати як пропозиційну функцію форми F(x).
Вчення про пропозиційні функції та квантори є найважливішим внеском Фреге в сучасну логіку.
Пропозиційна функція за означенням є мовною конструкцією, яка містить змінну. Ця конструкція за підстановки будь-якого значення для даної змінної перетворюється на висловлення.
Тобто пропозиційною є така функція, яка співвідносить представників певної предметної області з областю значень істинності.
Відомо, що вираз форми F(x) (де F — властивість певного індивіда х) являє собою таку елементарну пропозиційну функцію, з якої одержують елементарне (просте) висловлення, замінивши змінну позначеннями конкретних індивідів. Наприклад: F(x) -> «х зелений» -» «трава зелена».
Отже, пропозиційна функція може стати висловленням тоді й тільки тоді, коли аргумент (змінна) набуває конкретного предметного значення. Уведення поняття «пропозиційна функція» надає математичної строгості логічному аналізові висловлень (пропозицій).
Щоб побудувати складну пропозиційну функцію, необхідно здійснити певні операції. У логіці символи цихі операцій називають кванторами, а самі операції — кван-тифікацією пропозиційних функцій.
Хоч ідея квантифікації належить Фреге, автором термінів «квантор» і «квантифікація» є американський вчений Ч. С Пірс (1839- 1914).
Використання пропозиційних функцій і кванторів істот-і но спростило й прояснило методи логічного аналізу, до-: ЗБОЛИВШИ точно формулювати та строго доводити прин-! ципи логіки, на підставі яких одні висловлення можна! коректно виводити з інших.
Здавалося б, з поняттям «предикат» у логіці покінчено раз і назавжди. Проте цей термін залишився: ним кори-^ стуються, коли треба вказати на можливість логічного] аналізу структури висловлень. У такому випадку термін] «предикат» набув метафоричного значення. Так, у Д. Гіль-J берта, американського математика й логіка С. Кліні (1909—] 1994) цей термін вживається для позначення пропози^ ційної функції.
За допомогою предикації (пропозиційної функції) здійснюється поєднання одиничного й загального термінів.
Логіки поділяють терміни на одиничні (сингулярні), загальні й порожні. Одиничнії^ термін позначає один об'єкт, загальний — кілька об'єктів;.' порожній термін не позначає жодного об'єкта.
Предикацію схематично зображують так: «х є F» (у традиційній логіці це має вигляд «iS" є Р»). За допомогою] символів пропозиційної функції предикацію записують! так: F(x).
Якщо логіка висловлень ігнорує структуру простих ви-« словлень, вивчаючи тільки правильність зв'язків між ними, тЛ логіка предикатів зосереджує свою увагу саме на структур висловлень
У логіці предикатів розрізняють логіку предикатів пер* того ступеня (порядку) і логіку предикатів більш високая ступенів (порядків).
З часів Арістотеля (384— 322 до н. е.) у логіці існує поняття «судження». Давньогрецький філософ означав його як думку, що стверджує чи заперечує що-небудь про що-небудь.
Структурно судження складається з суб'єкта, предиката й дієслова-зв'язки. Так, у судженні «Хома Брут є київський філософ» ім'я «Хома Брут» є суб'єктом (5), вираз «київський філософ» — предикатом (Р), а дієслово «є» -І зв'язкою.
Наприкінці XJX ст. математик і логік Г. Фреге піддай гострій критиці традиційне тлумачення структури суджея ня, продемонструвавши своє критичне ставлення до ція традиції на прикладі двох речень:
«Греки завдали поразки персам при Платеях»; «Перси були розбиті греками при Платеях».
Граматична відмінність між цими реченнями полягає І зміні активної форми («греки завдали») на пасивну («роя биті греками»), тобто в першому реченні суб'єктом є «греки», а в другому — «перси».
У живій мові часто буває так: те, що раніше виступало у ролі суб'єкта (підмета), відносно легко може стати предикатом (присудком), і навпаки. Але в такому разі відмінність має лінгвістичний характер, а не строго логічний. Незважаючи на це, дані речення мають одне й те саме значення істинності. У зв'язку з цим Фреге вважав, що словесний порядок, який спирається на граматичне розмежування суб'єкта й предиката, не має значення для логіки.
Необхідність переосмислити сутність іменування в логіці була зумовлена введенням Фреге понять «функція» і «аргумент». На його думку, номінативний вираз («ім'я») можна поділити не тільки на суб'єкт й предикат, а й на функцію і аргумент, що більше відповідає логіці, яка орієнтується на математику, а не на психологію чи лінгвістику. Вчений неодноразово наголошував, що поняття «функція» і «аргумент» лише маркірують структурні особливості певного виразу, не зачіпаючи його смислового змісту.
Вчення про пропозиційні функції та квантори є найважливішим внеском Фреге в сучасну логіку.
Пропозиційна функція за означенням є мовною конструкцією, яка містить змінну. Ця конструкція за підстановки будь-якого значення для даної змінної перетворюється на висловлення.
Тобто пропозиційною є така функція, яка співвідносить представників певної предметної області з областю значень істинності.
Відомо, що вираз форми F(x) (де F — властивість певного індивіда х) являє собою таку елементарну пропозиційну функцію, з якої одержують елементарне (просте) висловлення, замінивши змінну позначеннями конкретних індивідів. Наприклад: F(x) -> «х зелений» -» «трава зелена».
Отже, пропозиційна функція може стати висловленням тоді й тільки тоді, коли аргумент (змінна) набуває конкретного предметного значення. Уведення поняття «пропозиційна функція» надає математичної строгості логічному аналізові висловлень (пропозицій).
Щоб побудувати складну пропозиційну функцію, необхідно здійснити певні операції. У логіці символи цихі операцій називають кванторами, а самі операції — кван-тифікацією пропозиційних функцій.
Хоч ідея квантифікації належить Фреге, автором термінів «квантор» і «квантифікація» є американський вчений Ч. С Пірс (1839- 1914).
Використання пропозиційних функцій і кванторів істот-і но спростило й прояснило методи логічного аналізу, до-: ЗБОЛИВШИ точно формулювати та строго доводити прин-! ципи логіки, на підставі яких одні висловлення можна! коректно виводити з інших.
Здавалося б, з поняттям «предикат» у логіці покінчено раз і назавжди. Проте цей термін залишився: ним кори-^ стуються, коли треба вказати на можливість логічного] аналізу структури висловлень. У такому випадку термін] «предикат» набув метафоричного значення. Так, у Д. Гіль-J берта, американського математика й логіка С. Кліні (1909—] 1994) цей термін вживається для позначення пропози^ ційної функції.
За допомогою предикації (пропозиційної функції) здійснюється поєднання одиничного й загального термінів.
Логіки поділяють терміни на одиничні (сингулярні), загальні й порожні. Одиничнії^ термін позначає один об'єкт, загальний — кілька об'єктів;.' порожній термін не позначає жодного об'єкта.
Предикацію схематично зображують так: «х є F» (у традиційній логіці це має вигляд «iS" є Р»). За допомогою] символів пропозиційної функції предикацію записують! так: F(x).
