Вступ до сучасної логіки
§ 16. Квантор існування
Питання про квантор існування розв'язується за допомогою доведення істинності логічних формул з таким квантором. Інакше кажучи, логіків цікавить не те, чи живуть на Марсі марсіани, а наявність несуперечності логічних конструкцій з квантором існування.
Так, якщо упирі, проблема існування яких гостро хвилювала київського філософа Хому Брута, не суперечать нашим теоретичним припущенням і залишаються у різних позиціях логічної мови саме упирями, не перетворюючись на русалок чи домовиків, то вони цілком влаштують нас як помітні «вказівні займенники». Такі «займенники» мають вказувати на повторення «однакових» місць у логічному тексті, точніше, вказувати на одне й те саме значення істинності (логічний об'єкт). Але це вже будуть не гоголеві упирі, а їхня примарна подоба, не здатна жахати ночами, бо вони потрапляють у повну й беззастережну залежність від кванторів. Від колишньої свободи та безкванторного існування залишається дим. Здобувши владу над логічними «упирями», ми стаємо воістину всесильними у своїх логічних прагненнях.
У природній мові нерідко трапляються такі вирази, що ставлять перед проблемою: чи є даний вираз означенням чогось насправді? Усі філософські дискусії на цю тему логіки відкидають. Вони припускають лише одне: існує певна, виділена певним чином (спосіб виділення залежить від логічної системи) непорожня множина М, під якою розуміють набір об'єктів з твердо фіксованою властивістю чи властивостями. Цю множину називають предметною областю, яку пробігає кожна із змінних пропозиційних функцій, тобто предметна область — це об'єкти, припустимі як значення змінних.
Розглянемо вже відомий умовивід:
Посилка 1. Усі люди смертні.
Посилка 2. Сократ — людина.
Висновок: Сократ смертний.
Множину F=xF(x) можна назвати екстенсіоналом (обсягом) предиката F{x) (лат. extension — обсяг, протяжність). У даному випадку під обсягом розуміють обсяг множини всіх х, для яких правильне F(x). Предикат трактують у логіці як інтенсіональний об'єкт (лат. intension — смисл; намір; те, що мається на увазі), оскільки він визначає смисловий зміст (інтенсіонал) поняття, що описується. Екстенсіональним об'єктом є логічна функція, тобто екстенсіонал — це множина об'єктів, які «має на увазі» предикат.
Історія логічного розмежування екстенсіоналу та інтенсіоналу сягає арістотелевої теорії абстракції. За Арісто-телем, абстракція означає вилучення або випущення деяких складових частин людського сприйняття. Осторонь залишається все несуттєве, випадкове (абстрагується), а думки доводяться до їхньої істинної й постійної форми.
Загальні поняття утворюються порівнянням і абстрагуванням. Порівнюючи ряд предметів, помічаємо наявні в них схожі й відмітні риси. Схожі риси фіксуємо за допомогою відповідних імен різного ступеня загальності, дістаючи тим самим зміст поняття. Це дає змогу перейти від розгляду предметів, даних у безпосередньому досліді до аналізу й порівняння самих понять, утворюючи щ більш загальні поняття.
У логіці, починаючи з Арістотеля, розрізняють дв складові поняття — обсяг (екстенсіонал) і зміст (інтен сіонал). Обсяг поняття — це сукупність предметів, до яки застосовується це поняття. Зміст поняття — це мисли ознаки предметів, тобто ознаки, які «маються на увазі (предикуються). Із збільшенням обсягу поняття зменшу ється його зміст, і навпаки.
Так, якщо упирі, проблема існування яких гостро хвилювала київського філософа Хому Брута, не суперечать нашим теоретичним припущенням і залишаються у різних позиціях логічної мови саме упирями, не перетворюючись на русалок чи домовиків, то вони цілком влаштують нас як помітні «вказівні займенники». Такі «займенники» мають вказувати на повторення «однакових» місць у логічному тексті, точніше, вказувати на одне й те саме значення істинності (логічний об'єкт). Але це вже будуть не гоголеві упирі, а їхня примарна подоба, не здатна жахати ночами, бо вони потрапляють у повну й беззастережну залежність від кванторів. Від колишньої свободи та безкванторного існування залишається дим. Здобувши владу над логічними «упирями», ми стаємо воістину всесильними у своїх логічних прагненнях.
У природній мові нерідко трапляються такі вирази, що ставлять перед проблемою: чи є даний вираз означенням чогось насправді? Усі філософські дискусії на цю тему логіки відкидають. Вони припускають лише одне: існує певна, виділена певним чином (спосіб виділення залежить від логічної системи) непорожня множина М, під якою розуміють набір об'єктів з твердо фіксованою властивістю чи властивостями. Цю множину називають предметною областю, яку пробігає кожна із змінних пропозиційних функцій, тобто предметна область — це об'єкти, припустимі як значення змінних.
Розглянемо вже відомий умовивід:
Посилка 1. Усі люди смертні.
Посилка 2. Сократ — людина.
Висновок: Сократ смертний.
Множину F=xF(x) можна назвати екстенсіоналом (обсягом) предиката F{x) (лат. extension — обсяг, протяжність). У даному випадку під обсягом розуміють обсяг множини всіх х, для яких правильне F(x). Предикат трактують у логіці як інтенсіональний об'єкт (лат. intension — смисл; намір; те, що мається на увазі), оскільки він визначає смисловий зміст (інтенсіонал) поняття, що описується. Екстенсіональним об'єктом є логічна функція, тобто екстенсіонал — це множина об'єктів, які «має на увазі» предикат.
Історія логічного розмежування екстенсіоналу та інтенсіоналу сягає арістотелевої теорії абстракції. За Арісто-телем, абстракція означає вилучення або випущення деяких складових частин людського сприйняття. Осторонь залишається все несуттєве, випадкове (абстрагується), а думки доводяться до їхньої істинної й постійної форми.
Загальні поняття утворюються порівнянням і абстрагуванням. Порівнюючи ряд предметів, помічаємо наявні в них схожі й відмітні риси. Схожі риси фіксуємо за допомогою відповідних імен різного ступеня загальності, дістаючи тим самим зміст поняття. Це дає змогу перейти від розгляду предметів, даних у безпосередньому досліді до аналізу й порівняння самих понять, утворюючи щ більш загальні поняття.
