Вступ до сучасної логіки
§ 17. Значення виразу «бути поняттям»
Сучасні логіки вважають, що традиційне^ трактування «поняття» надто обтяжене позалогічними ха-; рактеристиками. Тому терміни «екстенсіонал» та «інтенсіонал» вживаються ними, з одного боку, для того, щоб надати мові логіки міцнішого зв'язку з теоретико-мно-жинними уявленнями, а з другого — щоб вирізняти об'єкти даної множини, вказуючи на їхні властивості, ті, що «маються на увазі» пропозиційною функцією форми F(x).
Зазначимо, що Фреге у своєму трактуванні «поняття» пропонує базуватися на логічному аналізі значно більших за слово одиниць. Суть нового підходу полягає в ототожнюванні «поняття» і «пропозиція» («висловлення»). У XX ст. «висловлення» як предмет логічного вивчення стало вважатися основним елементом мови теоретичної науки.
Головне завдання, що стояло перед Фреге, полягало у вивченні таких висловлень, які мають місце під час математичного обґрунтування. За допомогою цього дослідження німецький учений сподівався пояснити, яким чином значення кожного висловлення вказаного типу визначається його внутрішньою структурою. Це завдання стосується сфери логіки предикатів.
Фреге підкреслював: щоб зрозуміти значення наукового висловлення, слід знати умови, за яких дане висловлення є істинним або ложним.
Розв'язуючи поставлене завдання, вчений спирався на поняття «умови істинності», «функція», «аргумент» і дійшов ідеї пропозиційної функції. Згадаємо, що пропозиційна функція може стати висловленням за умови (умови істинності), якщо аргумент (змінна) набуває значення «істина» чи «ложність».
Отже, для Фреге «бути поняттям» означає «бути певною пропозицією» (висловленням, що має значення «істина» чи «ложність»). Структуру цієї пропозиції можна уявити як пропозиційну функцію.
Коло замкнулося: почавши з пропозиційної функції, повертаємося знову до неї і виявляємо при цьому, що такі поняття, як «пропозиційна функція», «предикат», «інтен-сіональний об'єкт», «пропозиція», «висловлення» і «поняття», є різними проявами однієї й тієї самої логічної «сутності». На додаток до цього було зафіксовано, що у випадку логіки предикатів пропозиційна функція (предикат) стає висловленням (поняттям) за допомогою кванторів. Це і є відповіддю на запитання про зв'язок пропозиційної Функції з кванторами, зокрема з квантором існування.
Оскільки під численням предикатів у сучасній логіці розуміють числення пропозиційних функцій, точніше було б говорити про логіку пропозиційних функцій, а не про логіку предикатів. Але традиція є традиція, яку порушувати не слід.
Звернемося до зв'язку предикатів із змінними. Логіки стверджують, що предикат з однією змінною виражає властивість предмета. Наприклад: «х є грек», «х є просте число» тощо. Але предикат може виражати не тільки властивості, а й відношення. Такі предикати є пропозиційними функціями кількох змінних.
Розглянемо речення «Паніковський любить смажених гусей». Це речення, що аналізується засобами логіки предикатів, можна розглядати як вираження значення однієї з трьох пропозиційних функцій, а саме: «х любить смажених гусей», «Паніковський любить у», «х любить у». Тут граматичним присудком є вираз «любить смажених гусей». З позицій логіки присудком є вираз «х любить смажених гусей». Вирази «Паніковський любить у» і «х любить у» не є граматичними присудками. Те, що не влаштовує філологів, цілком влаштовує логіків.
Логіки вважають предикатами (логічними присудками) усяку пропозиційну функцію з будь-яким числом незалежних змінних. Тому їх цікавить лише питання стосовно кількості об'єктів, між якими встановлюються відношення. У зв'язку з цим розрізняють двомісні, тримісні й т. д. відношення. У загальному випадку говорять про я-місні відношення. Предикати-властивості вважають окремим випадком предикатів-відношень, тобто предикат-власти-вість — це одномісний предикат.
Отже, за числом місць предикати поділяють на одномісні й многомісні. Предикатні змінні звичайно позначають великими латинськими літерами (А, В, С, ...), а інди-відні змінні — малими (а, Ь, с, ...).
Нехай А — множина членів сім'ї. Виразимо родинні стосунки предикатами в такій формі: «х — батько у», «у — син х». Тоді предикат-відношення R (х, у) означатиме: «х' — батько у>, «у — син х». Функція R (х, у) після підставляння замість х і у імен певних людей набуває значення «істина» або «лож» залежно від того, чи є вказані люди родичами.
Зазначимо, що Фреге у своєму трактуванні «поняття» пропонує базуватися на логічному аналізі значно більших за слово одиниць. Суть нового підходу полягає в ототожнюванні «поняття» і «пропозиція» («висловлення»). У XX ст. «висловлення» як предмет логічного вивчення стало вважатися основним елементом мови теоретичної науки.
Головне завдання, що стояло перед Фреге, полягало у вивченні таких висловлень, які мають місце під час математичного обґрунтування. За допомогою цього дослідження німецький учений сподівався пояснити, яким чином значення кожного висловлення вказаного типу визначається його внутрішньою структурою. Це завдання стосується сфери логіки предикатів.
Фреге підкреслював: щоб зрозуміти значення наукового висловлення, слід знати умови, за яких дане висловлення є істинним або ложним.
Розв'язуючи поставлене завдання, вчений спирався на поняття «умови істинності», «функція», «аргумент» і дійшов ідеї пропозиційної функції. Згадаємо, що пропозиційна функція може стати висловленням за умови (умови істинності), якщо аргумент (змінна) набуває значення «істина» чи «ложність».
Отже, для Фреге «бути поняттям» означає «бути певною пропозицією» (висловленням, що має значення «істина» чи «ложність»). Структуру цієї пропозиції можна уявити як пропозиційну функцію.
Коло замкнулося: почавши з пропозиційної функції, повертаємося знову до неї і виявляємо при цьому, що такі поняття, як «пропозиційна функція», «предикат», «інтен-сіональний об'єкт», «пропозиція», «висловлення» і «поняття», є різними проявами однієї й тієї самої логічної «сутності». На додаток до цього було зафіксовано, що у випадку логіки предикатів пропозиційна функція (предикат) стає висловленням (поняттям) за допомогою кванторів. Це і є відповіддю на запитання про зв'язок пропозиційної Функції з кванторами, зокрема з квантором існування.
Оскільки під численням предикатів у сучасній логіці розуміють числення пропозиційних функцій, точніше було б говорити про логіку пропозиційних функцій, а не про логіку предикатів. Але традиція є традиція, яку порушувати не слід.
Звернемося до зв'язку предикатів із змінними. Логіки стверджують, що предикат з однією змінною виражає властивість предмета. Наприклад: «х є грек», «х є просте число» тощо. Але предикат може виражати не тільки властивості, а й відношення. Такі предикати є пропозиційними функціями кількох змінних.
Розглянемо речення «Паніковський любить смажених гусей». Це речення, що аналізується засобами логіки предикатів, можна розглядати як вираження значення однієї з трьох пропозиційних функцій, а саме: «х любить смажених гусей», «Паніковський любить у», «х любить у». Тут граматичним присудком є вираз «любить смажених гусей». З позицій логіки присудком є вираз «х любить смажених гусей». Вирази «Паніковський любить у» і «х любить у» не є граматичними присудками. Те, що не влаштовує філологів, цілком влаштовує логіків.
Отже, за числом місць предикати поділяють на одномісні й многомісні. Предикатні змінні звичайно позначають великими латинськими літерами (А, В, С, ...), а інди-відні змінні — малими (а, Ь, с, ...).
Нехай А — множина членів сім'ї. Виразимо родинні стосунки предикатами в такій формі: «х — батько у», «у — син х». Тоді предикат-відношення R (х, у) означатиме: «х' — батько у>, «у — син х». Функція R (х, у) після підставляння замість х і у імен певних людей набуває значення «істина» або «лож» залежно від того, чи є вказані люди родичами.
