Вступ до сучасної логіки

Як вже зазначалося, одним із важливих способів одержання висловлення з пропозиційної функції є зв'язування вільних змінних за допомогою кванторів. Наприклад, з пропозиційної функції «х — бравий солдат» за допомогою квантора існування маємо висловлення:

З х (х — бравий солдат).

Таке висловлення читається так: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що х — бравий солдат».

Саме вживання кванторів робить логіку предикатів багатшою та цікавішою за логіку висловлень. Використовуючи квантор існування, запишемо наведене висловлення більш строго:

Зх Р(х),

де Р(х) — предикат «х є бравий солдат».

Тепер з'ясуємо значення цієї формули як істину, якщо існує елемент певної предметної області, для якого Р(х) істинне, і як лож у протилежному випадку. Тоді якщо Р (х) — визначена формула логіки предикатів, то формула З х Р (х) також є визначеною й від значення х не залежить.

Формула 3 х Р(х) читається так: «Існує такий х, що Р від х». Використання цієї формули дає змогу стверджувати, що 3 х Р (х) — форма істинного висловлення для всіх предикатів Р(х), крім одного — ложного. Річ у тім, що у формулах 3 х Р(х) та V х Р(х) квантори зв'язують змінну х, тобто, незважаючи на те що в записах формул 3 х Р (х) та V х Р (х) вживається літера х, що позначає змінну, обидві ці формули позначають саме висловлення, а не пропозиційні функції. Отже, ці формули від змінної х більше не залежать. Потрапляючи в область дії квантора, змінна втрачає свою «свободу» і стає зв'язаною змінною. Така змінна не є змінною у власному розумінні цього слова, її наявність у формулі потрібна лише для того, щоб вказати, з якого предиката дане висловлення утворено. Значення цієї псевдозмінної строго визначене й вже не залежить від контексту.

З пропозиційної функції «х — кухар-окультист» за Допомогою квантора загальності можна одержати висловлення про всіх індивідуумів, знайомих з особливим станом голодних духів і з трансміграцією душ, а саме:

Vx (х — кухар-окультист).

Таке висловлення читається так: «Всі х володіють властивістю бути кухарем-окультистом». Запишемо цей вираз:

УхР(х).

Ця формула читається як «Усі х мають властивість Р(х)». Стосовно кухарів-окультистів, яких в австро-угор-ській армії шанували, дана формула розшифровується так: «Усі солдати є (в душі) кухарями-окультистами (мають властивість бути кухарем-окультистом)». Людям, які мислять критично, зрозуміло, що це висловлення не відповідає дійсності і, отже, є ложним.

Замінивши квантор загальності на квантор існування, маємо істинне висловлення: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що Р від х». Або: «Існує хоча б один індивідуум (солдат) на ім'я Юрайда, для якого правильно, що Юрайда — кухар-окультист».

За допомогою квантора загальності висловлюється думка про те, що кожний індивід певної предметної області має загальну для всіх індивідів цієї області властивість. Інакше кажучи, загальне висловлення — це висловлення, яке констатує, що кожний індивід предметної області має певну властивість. Таке висловлення істинне тільки тоді, коли за будь-якого набору значень його змінних із пропозиційної функції, яку воно містить, мають істинне висловлення.

Перекладаючи це на теоретико-множинну мову, можна сказати: якщо множина складається зі скінченного числа об'єктів, то висловлення про ці об'єкти за формулою Vx P(x) записується у вигляді кон'юнкції одиничних (простих) висловлень. Так, нехай множина М містить п'ять елементів (об'єктів): av a2, av а4, а5. У цьому випадку

висловлення форми \/хР{х) рівносильне складному висловленню форми

Р(а{)& Р (а2) & Р (а.) & Р (аА) & Р (as).

Незважаючи на те що квантор загальності можна застосовувати до нескінченних множин, з практичною мето

його зручніше вживати як узагальнення якогось скінченного числа одиничних висловлень.

Квантор існування також узагальнює, але узагальнює не операцію кон'юнкції, а операцію диз'юнкції. Розглянемо приклад.

Нехай М— скінченна множина {М= {о,, а2, а3,