Тофтул Логіка (2002)
Класифікація суджень (продовження)
2. Знаки логічних сполучників:
л — кон'юнкція (приблизно відповідає граматичному сполучнику «і»);
v — нестрога (слабка) диз'юнкція (відповідає граматичному сполучнику «або»);
у — строга (сильна) диз'юнкція (відповідає... — «або.., або...»);
—»— імплікація (відповідає... — «якщо..., то...»);
— еквіваленція (відповідає... — «якщо і тільки якщо...»;
заперечення (цей знак пишеться над вислов
люванням, відповідає частці «не» і читається — «хиб
но, що...»).
3. Технічні знаки:
( — ліва дужка;
) — права дужка;
, — кома.
Перелічені знаки — знаки пропозиційних змінних, логічних сполучників і технічні знаки — становлять собою алфавіт логіки висловлювань, або пропозицій-ної логіки.
Що таке формула логіки висловлювань?
По-перше, будь-яка пропозиційна змінна є формулою логіки висловлювань. По-друге, якщо F і F є формулами логіки висловлювань, то формулами будуть і «FAFJ», «FVFJ», «FyFj», «F-tFj» «F-t-Fj». По-третє, якщо F є формулою логіки висловлювань, то F також буде формулою.
Послідовність знаків «Av», «wl», «vAv», «AB» не є формулами логіки висловлювань подібно до аналогічних виразів у математиці.
Щоб «перекласти» вираз природної мови на мову логіки висловлювань, необхідно:
1) виділити всі прості речення1 природної мови;
2) позначити їх знаками відповідних пропозиційних змінних;
3) встановити граматичні сполучники, які мають місце в міркуванні і пов'язують прості речення природної мови у складні;
:При цьому прості речення з однорідними членами нерідко розглядають як складні. Наприклад: «Він поет і майстер живопису» (АлВ), тобто «Він поет, і він майстер живопису».
4) позначити ці сполучники відповідними знаками (символами) логічних сполучників;
5) записати вираз, що аналізується, з допомогою відповідних логічних знаків.
Наприклад: «Почалася сесія, і роботи додалося» — (АлВ); «Якщо чотирикутник має попарно паралельні сторони і прямі кути, то він є прямокутником» — (АлВ)С.
Логіка висловлювань дає можливість на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновок про логічне значення складних висловлювань. Щоправда, існують випадки, коли істин-нісне значення складних висловлювань залежить від таблиць істинності логічних зв'язок і зовсім не залежить від істинності чи хибності простих висловлювань.
Щоб навчитися визначати логічне значення складних висловлювань, розглянемо таблиці істинності логічних зв'язок, які, до речі, є вичерпною характеристикою цих зв'язок, яка не йде ні в яке порівняння з посиланням на їх аналогію з граматичними сполучниками.
Таблиця істинності кон'юнкції
А В АлВ
і і і
і X X
X і X
X X X
З таблиці видно, що кон'юнкція істинна лише тоді, коли всі кон'юнкти істинні (всі, а не два, бо їх може бути й більше). В усіх інших випадках кон'юнкція хибна. Так, кон'юнктивне судження «Всі ромби мають рівні сторони і взаємно перпендикулярні діагоналі» істинне, а судження «Всі ромби мають рівні сторони і кути» хибне.
Нестрога диз'юнкція є хибною лише тоді, коли всі диз'юнкти хибні. В усіх інших випадках вона є істинною.
Наприклад:
1) «Новий Лондон знаходиться в Австралії або в Канаді»;
2) «О.С.Пушкін — поет або прозаїк»;
3) «Гегель був філософом або фізиком».
Таблиця істинності нестрогої (слабкої) диз'юнкції
А В AvB
і і і
і X і
X і і
X X X
Перше диз'юнктивне висловлювання є хибним, оскільки обидва диз'юнкти (члени диз'юнкції) є хибними. Новий Лондон знаходиться не в Австралії і не в Канаді, а в двадцять другому штаті США — штаті Коннектикут.
Друге і третє висловлювання істинні, бо в другому висловлюванні обидва диз'юнкти є істинними, а в третьому — один, перший.
Таблиця істинності строгої (сильної) диз'юнкції
А В AvB
і і X
і X і
X і і
X X X
Строга диз'юнкція є істинною тоді, коли один і лише один диз'юнкт є істинним. В іншому разі вона буде хибною.
Наприклад:
1) «Цей кут є або гострим, або прямим, або тупим »;
2) «Цього літа ми поїдемо відпочивати або в Ялту, або в Скадовськ».
Перше висловлювання є істинним, бо будь-який кут неодмінно належить до одного і тільки одного з названих різновидів. А друге висловлювання може виявитися як істинним (за умови, що його автор відпочиватиме в зазначений час в одному і тільки в одному з названих міст), так і хибним (коли його автор відпочиватиме «цього літа» в обох названих містах або не відпочиватиме в жодному з них).
Таблиця істинності імплікації
А В А->В
і і і
і X X
X і і
X X і
Імплікація є хибною лише тоді, коли антецедент (перша частина імплікації) є істинним, а консеквент (друга частина імплікації) — хибним. В усіх інших випадках імплікація є істинною.
Наприклад: «Якщо робітник старанно працює, то він своєчасно одержує платню». Це висловлювання буде хибним лише за умови, коли перше судження («Робітник старанно працює») є істинним, а друге («Він своєчасно одержує платню») — хибним.
Еквівалентне висловлювання є істинним за умови, коли обидві його складові є одночасно або істинними, або хибними.
Таблиця істинності еквіваленції
А В АВ
і і і
і X X
X і X
X X і
Наприклад: «Якщо ця геометрична фігура — прямокутник, то вона є паралелограмом з прямими кутами». Це висловлювання буде істинним лише за умови, що обидві його частини матимуть однакове логічне значення, тобто будуть або одночасно істинними, або одночасно хибними.
Таблиця істинності заперечення
А А
і X
X і
Заперечення перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне — на істинне. Наприклад:
1) «Відень — столиця Австрії»;
2) «5x5 = 50».
Вдавшись до операції заперечення, ми перетворимо істинне висловлювання на хибне («Хибно, що Відень — столиця Австрії), а хибне — в істинне («Хибно, що 5 х 5 = 50»).
Типи складних висловлювань
Логіка висловлювань дає змогу на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновки про істинність чи хибність складних висловлювань. Наприклад, дано висловлювання «А—> —>BVCAD» І ВІДОМО, ЩО А — істинне, В — істинне, С — хибне і D — хибне. Завдання полягає в тому, щоб визначити логічне значення названого складного висловлювання.
Щоб виконати це завдання, треба взяти до уваги, по-гіерше, логічні значення простих висловлювань, а по-друге — дані таблиць істинності відповідних логічних зв'язок. До того ж треба пам'ятати черговість логічних операцій: спочатку виконується кон'юнкція, потім диз'юнкція, імплікація і т. д. (подібно до того, як у математиці спочатку виконують множення і ділення, а потім додавання і віднімання).
Визначаючи логічне значення висловлювання «А—> -+BVCAD», здійснимо послідовно відповідні операції:
1) С (хиба) л D (хиба) дає хибу;
2) В (істина) v хиба дає істину;
3) А (істина) —> істина дає істину.
Отже, при наведених логічних значеннях простих висловлювань складне висловлювання «A-BVCAD» виявилося істинним. Проте можуть трапитися випадки, коли логічні значення деяких простих висловлювань у складному нам невідомі. Чи можна визначити логічне значення складних висловлювань у такому разі? Іноді можна. Наприклад, є складне висловлювання «BVCA AD», В якому В — істинне, а логічні значення простих висловлювань С і D — невідомі. Орієнтуючись на таблицю істинності нестрогої диз'юнкції й враховуючи черговість логічних операцій, неважко дійти висновку, що це висловлювання є істинним. Загалом висловлювання «BVCAD» можна розглядати як нестрогу диз'юнкцію: «BV(CAD)». Оскільки в цій диз'юнкції один диз'юнкт (В) істинний, то й диз'юнкція загалом буде істинною, незалежно від логічного значення другого диз'юнкта — (CAD).
І, нарешті, здавалося б, зовсім безглузде запитання: а чи трапляються складні висловлювання такої конструкції, логічне значення яких можна визначити за умови повної відсутності знань про істиннісне значення їх складників, тобто відповідних простих висловлювань?
Так! Як це не парадоксально.
Наприклад:
1. AvBvA._
2.A->(BvB).
З.АА(ВА'В).
4.AvA.
Перше і друге висловлювання істинні, а третє і четверте — хибні.
Перше висловлювання істинне тому, що це нестрога диз'юнкція, яка є істинною за умови, що хоча б один диз'юнкт є істинним. А в цьому висловлюванні завжди є істинним один із диз'юнктів: або А, або не-А.
Друге висловлювання теж істинне, бо загалом воно є імплікативним з істинним консеквентом («BvB»). A імплікація не може бути хибною за умови, що її консеквент є істинним (про це свідчить таблиця істинності імплікації).
Третє висловлювання хибне, бо кон'юнкція є хибною, якщо хоч один кон'юнкт хибний. А в цьому висловлюванні другий кон'юнкт («ВлВ») є хибним.
Четверте висловлювання («AvA») теж хибне, бо диз'юнкція «AvA» є істинною, а її заперечення (риска над цим висловлюванням) перетворює його на хибне.
Перше і друге висловлювання не просто істинні, а «завжди істинні», тобто такі, істинність яких не залежить від істинності чи хибності їх складників. «Завжди істинні» висловлювання (формули) називають законами логіки. їх називають ще «тотожно істинними», «логічно істинними», «тавтологіями», «універ-сально-загальнозначимими».
Третє і четверте висловлювання є теж не просто хибними, а «завжди хибними», тобто такими, хибність яких не залежить від логічного значення простих висловлювань, їх складників. «Завжди хибні» висловлювання (формули) ще називають логічними суперечностями .
Переважна ж більшість складних висловлювань є такими, істиннісне значення яких не можна визначити без врахування істинності чи хибності їх складників. Такі висловлювання називаються виконуваними (здійсненними, невизначеними).
У логіці розроблено спеціальні методи, з допомогою яких з'ясовують, до якого типу належить те чи інше складне висловлювання (формула), тобто встановлюють, чи є воно «завжди істинним» (законом логіки), «завжди хибним» (логічною суперечністю) чи виконуваним.
Розглянемо один із таких методів — метод таблиць істинності.
Таблиці істинності логічних зв'язок, з якими ми вже ознайомились, можна застосовувати і для визначення істиннісноґо значення складних висловлювань. Ці таблиці будують за схемою.
У перший рядок таблиці вписують спочатку прості висловлювання (пропозиційні змінні), потім ті складові висловлювання, що містять одну логічну зв'язку, за ними — ті, що містять дві зв'язки і т. д. Завершується рядок висловлюванням, яке аналізується. Кожному складнику висловлювання в першому рядку таблиці відводиться клітинка, кожна з яких розпочинає відпо єний стовпчик. _
Наприклад, висловлювання «(AVB)AB» так вписується в таблицю:
А В В AvB (AvB)vB
Y і
Оскільки до складу досліджуваного висловлювання входять лише дві пропозиційні змінні (А, В), то рядків у таблиці буде чотири (коли б пропозиційних змінних було три, то кількість рядків подвоїлася б).
Заповнюючи таблицю, впишемо в перший та другий стовпчики усі припустимі набори логічних значень пропорційних змінних «А» і «В». Значення «В » встановлюється відповідно до значень «В» згідно з таблицею істинності зв'язки «заперечення».
Значення «AvB» встановлюється відповідно до значень «А» і «В» згідно з таблицею істинності нестрого! диз'юнкції. Логічне значення досліджуваного висловлювання «(AVB)ABJ> встановлюється відповідно до значень «AvB» і «В» згідно з таблицею істинності кон'юнкції.
А В В AvB (AVB)AB
і і X і X
і X і і і
X і X і X
X X і X X
Оскільки в останньому стовпчику таблиці траплявся різні логічні значення (тобто як «істина», так і &ба»), то це висловлювання є виконуваним.
А В А АлА (АлА)ч>В
і і X X і
і X X X і
X і і X і
X X і X і
Логічна суперечність
А В А AvB АлА (AvB)л (АлА)
і і X і X X
і X X і X X
X і і і X X
X X і X X X
Метод таблиць істинності ефективний при з'ясуванні типу складних висловлювань, які містять дві-три пропозиційних змінні. Якщо ж пропозиційних змінних у висловлюванні більше, то вдаються до методу аналітичних таблиць [92] та інших методів.
Навіть коли висловлювання містить три пропози-ційні змінні, таблиці істинності вже є громіздкими:
А В с А АлВлА (АлВлА)ч>С
і і і X X
і І X X X
і X і X X
і X X X X
X і і і X
X і X і X
X X і і X
X X X і X і
З'ясувавши сутність і значення логіки висловлювань (пропозиційної логіки), неважко здогадатися про її неуніверсальний характер. Це виявляється в тому, що існують такі міркування, правильність яких не можна обґрунтувати з допомогою числення висловлювань, тобто абстрагуючись від внутрішньої структури простих висловлювань. Так, правильність міркування «Всі метали — електропровідники, отже, деякі електропровідники — метали» залежить не лише від логічних зв'язків між висловлюваннями, а й від їх внутрішньої будови. Цей та інші факти свідчать про необхідність такої логічної теорії, яка б брала до уваги суб'єктно-предикатну структуру простих висловлювань і ввела б нові логічні константи: «V»— квантор загальності і «З» — квантор існування. Вираз «Vx» читають: «для будь-якого х...», а вираз «Зх» — «існує такий х...».
Така теорія створена. Вона називається логікою предикатів, або теорією квантифікації. До того ж ця теорія — це розширення логіки висловлювань, тому всі закони останньої є одночасно і законами логіки предикатів (але не навпаки!). Предметом цієї логіки є також лише дескриптивні висловлювання, які мають два логічні значення: «істина» і «хиба».
Мова логіки предикатів — це штучна мова, пристосована до аналізу логічної структури простих висловлювань. До неї належать список відповідних знакових засобів (алфавіт) і визначення правильно побудованих виразів. Такими виразами є терми і формули.
Знакові засоби мови логіки предикатів поділяють на технічні і нетехнічні, а останні, у свою чергу, — на логічні і нелогічні. До нелогічних термінів належать насамперед імена і предикатори.
Ім'я — термін, що позначає будь-який предмет.
Предикатор — термін, що позначає ту чи іншу властивість предмета або відношення.
Предикатори, що виражають властивості предметів, називаються одномісними, а предикатори, які виражають відношення між предметами, — неодномісни-ми (двомісними, тримісними тощо). Предметним значенням предикаторів вважають множини, елементами яких є або окремі предмети, або їх послідовності (наприклад, пари предметів).
Логічними термінами, які входять до складу простих висловлювань, є квантор загальності та квантор існування.
Алфавіт логіки предикатів
І. Нетехнічні знаки. До нетехнічних належать нелогічні і логічні знаки: предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні, предикатні символи, знаки логічних сполучників і знаки кванторів.
1. Предметні (індивідні) константи: а, Ь, с, а;, br сг.. Ці знаки використовують для позначення власних імен природної мови («Чернігів», «Гегель», «Тетерів»).
2. Предметні (індивідні) змінні: х, у, z, x', yr zr Якщо предметні константи пов'язують з конкретними власними іменами, то предметні змінні замінюють будь-яке ім'я відповідної предметної сфери («місто», «людина», «річка»).
3. Предикаторні константи: Pn, Q", R", Sn, Pnr Qnr Rnv Snr.. Цими знаками позначають предикатори природної мови. Верхній індекс вказує на їх місткість, а нижній — на порядковий номер. Так, одномісний пре-дикатор можна записати як Р\ двомісний — як Р2 тощо (прикладом одномісного предикатора може стати вираз «бути електропровідним», двомісного — «бути дешевшим, ніж», а тримісного — «розташовуватися між»).
4. Знаки логічних сполучників (ці знаки відомі нам з логіки висловлювань): «—», «л», «v», «v», «—>», «
л — кон'юнкція (приблизно відповідає граматичному сполучнику «і»);
v — нестрога (слабка) диз'юнкція (відповідає граматичному сполучнику «або»);
у — строга (сильна) диз'юнкція (відповідає... — «або.., або...»);
—»— імплікація (відповідає... — «якщо..., то...»);
— еквіваленція (відповідає... — «якщо і тільки якщо...»;
заперечення (цей знак пишеться над вислов
люванням, відповідає частці «не» і читається — «хиб
но, що...»).
3. Технічні знаки:
) — права дужка;
, — кома.
Перелічені знаки — знаки пропозиційних змінних, логічних сполучників і технічні знаки — становлять собою алфавіт логіки висловлювань, або пропозицій-ної логіки.
Що таке формула логіки висловлювань?
По-перше, будь-яка пропозиційна змінна є формулою логіки висловлювань. По-друге, якщо F і F є формулами логіки висловлювань, то формулами будуть і «FAFJ», «FVFJ», «FyFj», «F-tFj» «F-t-Fj». По-третє, якщо F є формулою логіки висловлювань, то F також буде формулою.
Послідовність знаків «Av», «wl», «vAv», «AB» не є формулами логіки висловлювань подібно до аналогічних виразів у математиці.
Щоб «перекласти» вираз природної мови на мову логіки висловлювань, необхідно:
1) виділити всі прості речення1 природної мови;
2) позначити їх знаками відповідних пропозиційних змінних;
3) встановити граматичні сполучники, які мають місце в міркуванні і пов'язують прості речення природної мови у складні;
:При цьому прості речення з однорідними членами нерідко розглядають як складні. Наприклад: «Він поет і майстер живопису» (АлВ), тобто «Він поет, і він майстер живопису».
4) позначити ці сполучники відповідними знаками (символами) логічних сполучників;
5) записати вираз, що аналізується, з допомогою відповідних логічних знаків.
Наприклад: «Почалася сесія, і роботи додалося» — (АлВ); «Якщо чотирикутник має попарно паралельні сторони і прямі кути, то він є прямокутником» — (АлВ)С.
Щоб навчитися визначати логічне значення складних висловлювань, розглянемо таблиці істинності логічних зв'язок, які, до речі, є вичерпною характеристикою цих зв'язок, яка не йде ні в яке порівняння з посиланням на їх аналогію з граматичними сполучниками.
Таблиця істинності кон'юнкції
А В АлВ
і і і
і X X
X і X
X X X
З таблиці видно, що кон'юнкція істинна лише тоді, коли всі кон'юнкти істинні (всі, а не два, бо їх може бути й більше). В усіх інших випадках кон'юнкція хибна. Так, кон'юнктивне судження «Всі ромби мають рівні сторони і взаємно перпендикулярні діагоналі» істинне, а судження «Всі ромби мають рівні сторони і кути» хибне.
Нестрога диз'юнкція є хибною лише тоді, коли всі диз'юнкти хибні. В усіх інших випадках вона є істинною.
Наприклад:
1) «Новий Лондон знаходиться в Австралії або в Канаді»;
2) «О.С.Пушкін — поет або прозаїк»;
3) «Гегель був філософом або фізиком».
Таблиця істинності нестрогої (слабкої) диз'юнкції
А В AvB
і і і
і X і
X і і
X X X
Друге і третє висловлювання істинні, бо в другому висловлюванні обидва диз'юнкти є істинними, а в третьому — один, перший.
Таблиця істинності строгої (сильної) диз'юнкції
А В AvB
і і X
і X і
X і і
X X X
Строга диз'юнкція є істинною тоді, коли один і лише один диз'юнкт є істинним. В іншому разі вона буде хибною.
Наприклад:
1) «Цей кут є або гострим, або прямим, або тупим »;
2) «Цього літа ми поїдемо відпочивати або в Ялту, або в Скадовськ».
Перше висловлювання є істинним, бо будь-який кут неодмінно належить до одного і тільки одного з названих різновидів. А друге висловлювання може виявитися як істинним (за умови, що його автор відпочиватиме в зазначений час в одному і тільки в одному з названих міст), так і хибним (коли його автор відпочиватиме «цього літа» в обох названих містах або не відпочиватиме в жодному з них).
Таблиця істинності імплікації
А В А->В
і і і
і X X
X і і
X X і
Імплікація є хибною лише тоді, коли антецедент (перша частина імплікації) є істинним, а консеквент (друга частина імплікації) — хибним. В усіх інших випадках імплікація є істинною.
Наприклад: «Якщо робітник старанно працює, то він своєчасно одержує платню». Це висловлювання буде хибним лише за умови, коли перше судження («Робітник старанно працює») є істинним, а друге («Він своєчасно одержує платню») — хибним.
Еквівалентне висловлювання є істинним за умови, коли обидві його складові є одночасно або істинними, або хибними.
Таблиця істинності еквіваленції
А В АВ
і і і
і X X
X і X
X X і
Наприклад: «Якщо ця геометрична фігура — прямокутник, то вона є паралелограмом з прямими кутами». Це висловлювання буде істинним лише за умови, що обидві його частини матимуть однакове логічне значення, тобто будуть або одночасно істинними, або одночасно хибними.
Таблиця істинності заперечення
А А
і X
X і
Заперечення перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне — на істинне. Наприклад:
1) «Відень — столиця Австрії»;
2) «5x5 = 50».
Вдавшись до операції заперечення, ми перетворимо істинне висловлювання на хибне («Хибно, що Відень — столиця Австрії), а хибне — в істинне («Хибно, що 5 х 5 = 50»).
Типи складних висловлювань
Логіка висловлювань дає змогу на підставі знання логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності логічних зв'язок робити висновки про істинність чи хибність складних висловлювань. Наприклад, дано висловлювання «А—> —>BVCAD» І ВІДОМО, ЩО А — істинне, В — істинне, С — хибне і D — хибне. Завдання полягає в тому, щоб визначити логічне значення названого складного висловлювання.
Щоб виконати це завдання, треба взяти до уваги, по-гіерше, логічні значення простих висловлювань, а по-друге — дані таблиць істинності відповідних логічних зв'язок. До того ж треба пам'ятати черговість логічних операцій: спочатку виконується кон'юнкція, потім диз'юнкція, імплікація і т. д. (подібно до того, як у математиці спочатку виконують множення і ділення, а потім додавання і віднімання).
Визначаючи логічне значення висловлювання «А—> -+BVCAD», здійснимо послідовно відповідні операції:
1) С (хиба) л D (хиба) дає хибу;
2) В (істина) v хиба дає істину;
3) А (істина) —> істина дає істину.
Отже, при наведених логічних значеннях простих висловлювань складне висловлювання «A-BVCAD» виявилося істинним. Проте можуть трапитися випадки, коли логічні значення деяких простих висловлювань у складному нам невідомі. Чи можна визначити логічне значення складних висловлювань у такому разі? Іноді можна. Наприклад, є складне висловлювання «BVCA AD», В якому В — істинне, а логічні значення простих висловлювань С і D — невідомі. Орієнтуючись на таблицю істинності нестрогої диз'юнкції й враховуючи черговість логічних операцій, неважко дійти висновку, що це висловлювання є істинним. Загалом висловлювання «BVCAD» можна розглядати як нестрогу диз'юнкцію: «BV(CAD)». Оскільки в цій диз'юнкції один диз'юнкт (В) істинний, то й диз'юнкція загалом буде істинною, незалежно від логічного значення другого диз'юнкта — (CAD).
І, нарешті, здавалося б, зовсім безглузде запитання: а чи трапляються складні висловлювання такої конструкції, логічне значення яких можна визначити за умови повної відсутності знань про істиннісне значення їх складників, тобто відповідних простих висловлювань?
Так! Як це не парадоксально.
Наприклад:
1. AvBvA._
2.A->(BvB).
З.АА(ВА'В).
4.AvA.
Перше і друге висловлювання істинні, а третє і четверте — хибні.
Перше висловлювання істинне тому, що це нестрога диз'юнкція, яка є істинною за умови, що хоча б один диз'юнкт є істинним. А в цьому висловлюванні завжди є істинним один із диз'юнктів: або А, або не-А.
Друге висловлювання теж істинне, бо загалом воно є імплікативним з істинним консеквентом («BvB»). A імплікація не може бути хибною за умови, що її консеквент є істинним (про це свідчить таблиця істинності імплікації).
Третє висловлювання хибне, бо кон'юнкція є хибною, якщо хоч один кон'юнкт хибний. А в цьому висловлюванні другий кон'юнкт («ВлВ») є хибним.
Четверте висловлювання («AvA») теж хибне, бо диз'юнкція «AvA» є істинною, а її заперечення (риска над цим висловлюванням) перетворює його на хибне.
Перше і друге висловлювання не просто істинні, а «завжди істинні», тобто такі, істинність яких не залежить від істинності чи хибності їх складників. «Завжди істинні» висловлювання (формули) називають законами логіки. їх називають ще «тотожно істинними», «логічно істинними», «тавтологіями», «універ-сально-загальнозначимими».
Третє і четверте висловлювання є теж не просто хибними, а «завжди хибними», тобто такими, хибність яких не залежить від логічного значення простих висловлювань, їх складників. «Завжди хибні» висловлювання (формули) ще називають логічними суперечностями .
Переважна ж більшість складних висловлювань є такими, істиннісне значення яких не можна визначити без врахування істинності чи хибності їх складників. Такі висловлювання називаються виконуваними (здійсненними, невизначеними).
У логіці розроблено спеціальні методи, з допомогою яких з'ясовують, до якого типу належить те чи інше складне висловлювання (формула), тобто встановлюють, чи є воно «завжди істинним» (законом логіки), «завжди хибним» (логічною суперечністю) чи виконуваним.
Розглянемо один із таких методів — метод таблиць істинності.
Таблиці істинності логічних зв'язок, з якими ми вже ознайомились, можна застосовувати і для визначення істиннісноґо значення складних висловлювань. Ці таблиці будують за схемою.
У перший рядок таблиці вписують спочатку прості висловлювання (пропозиційні змінні), потім ті складові висловлювання, що містять одну логічну зв'язку, за ними — ті, що містять дві зв'язки і т. д. Завершується рядок висловлюванням, яке аналізується. Кожному складнику висловлювання в першому рядку таблиці відводиться клітинка, кожна з яких розпочинає відпо єний стовпчик. _
Наприклад, висловлювання «(AVB)AB» так вписується в таблицю:
А В В AvB (AvB)vB
Y і
Оскільки до складу досліджуваного висловлювання входять лише дві пропозиційні змінні (А, В), то рядків у таблиці буде чотири (коли б пропозиційних змінних було три, то кількість рядків подвоїлася б).
Заповнюючи таблицю, впишемо в перший та другий стовпчики усі припустимі набори логічних значень пропорційних змінних «А» і «В». Значення «В » встановлюється відповідно до значень «В» згідно з таблицею істинності зв'язки «заперечення».
Значення «AvB» встановлюється відповідно до значень «А» і «В» згідно з таблицею істинності нестрого! диз'юнкції. Логічне значення досліджуваного висловлювання «(AVB)ABJ> встановлюється відповідно до значень «AvB» і «В» згідно з таблицею істинності кон'юнкції.
А В В AvB (AVB)AB
і і X і X
і X і і і
X і X і X
X X і X X
Оскільки в останньому стовпчику таблиці траплявся різні логічні значення (тобто як «істина», так і &ба»), то це висловлювання є виконуваним.
А В А АлА (АлА)ч>В
і і X X і
і X X X і
X і і X і
X X і X і
Логічна суперечність
А В А AvB АлА (AvB)л (АлА)
і і X і X X
і X X і X X
X і і і X X
X X і X X X
Метод таблиць істинності ефективний при з'ясуванні типу складних висловлювань, які містять дві-три пропозиційних змінні. Якщо ж пропозиційних змінних у висловлюванні більше, то вдаються до методу аналітичних таблиць [92] та інших методів.
Навіть коли висловлювання містить три пропози-ційні змінні, таблиці істинності вже є громіздкими:
А В с А АлВлА (АлВлА)ч>С
і і і X X
і І X X X
і X і X X
і X X X X
X і і і X
X і X і X
X X і і X
X X X і X і
З'ясувавши сутність і значення логіки висловлювань (пропозиційної логіки), неважко здогадатися про її неуніверсальний характер. Це виявляється в тому, що існують такі міркування, правильність яких не можна обґрунтувати з допомогою числення висловлювань, тобто абстрагуючись від внутрішньої структури простих висловлювань. Так, правильність міркування «Всі метали — електропровідники, отже, деякі електропровідники — метали» залежить не лише від логічних зв'язків між висловлюваннями, а й від їх внутрішньої будови. Цей та інші факти свідчать про необхідність такої логічної теорії, яка б брала до уваги суб'єктно-предикатну структуру простих висловлювань і ввела б нові логічні константи: «V»— квантор загальності і «З» — квантор існування. Вираз «Vx» читають: «для будь-якого х...», а вираз «Зх» — «існує такий х...».
Така теорія створена. Вона називається логікою предикатів, або теорією квантифікації. До того ж ця теорія — це розширення логіки висловлювань, тому всі закони останньої є одночасно і законами логіки предикатів (але не навпаки!). Предметом цієї логіки є також лише дескриптивні висловлювання, які мають два логічні значення: «істина» і «хиба».
Мова логіки предикатів — це штучна мова, пристосована до аналізу логічної структури простих висловлювань. До неї належать список відповідних знакових засобів (алфавіт) і визначення правильно побудованих виразів. Такими виразами є терми і формули.
Знакові засоби мови логіки предикатів поділяють на технічні і нетехнічні, а останні, у свою чергу, — на логічні і нелогічні. До нелогічних термінів належать насамперед імена і предикатори.
Ім'я — термін, що позначає будь-який предмет.
Предикатор — термін, що позначає ту чи іншу властивість предмета або відношення.
Предикатори, що виражають властивості предметів, називаються одномісними, а предикатори, які виражають відношення між предметами, — неодномісни-ми (двомісними, тримісними тощо). Предметним значенням предикаторів вважають множини, елементами яких є або окремі предмети, або їх послідовності (наприклад, пари предметів).
Логічними термінами, які входять до складу простих висловлювань, є квантор загальності та квантор існування.
Алфавіт логіки предикатів
І. Нетехнічні знаки. До нетехнічних належать нелогічні і логічні знаки: предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні, предикатні символи, знаки логічних сполучників і знаки кванторів.
1. Предметні (індивідні) константи: а, Ь, с, а;, br сг.. Ці знаки використовують для позначення власних імен природної мови («Чернігів», «Гегель», «Тетерів»).
2. Предметні (індивідні) змінні: х, у, z, x', yr zr Якщо предметні константи пов'язують з конкретними власними іменами, то предметні змінні замінюють будь-яке ім'я відповідної предметної сфери («місто», «людина», «річка»).
3. Предикаторні константи: Pn, Q", R", Sn, Pnr Qnr Rnv Snr.. Цими знаками позначають предикатори природної мови. Верхній індекс вказує на їх місткість, а нижній — на порядковий номер. Так, одномісний пре-дикатор можна записати як Р\ двомісний — як Р2 тощо (прикладом одномісного предикатора може стати вираз «бути електропровідним», двомісного — «бути дешевшим, ніж», а тримісного — «розташовуватися між»).
4. Знаки логічних сполучників (ці знаки відомі нам з логіки висловлювань): «—», «л», «v», «v», «—>», «
