Вступ до сучасної логіки
§ 5. Проблеми теорії множин
Теорія множин — це абстрактно-теоретична наука про множини довільної природи. Синонімом «множини» є «сукупність», «набір», «клас» тощо.
У працях Кантора було викладено теорію так званих трансфінітних кардинальних чисел. Ця теорія грунтується на систематичному використанні математичного поняття актуальної нескінченності, у зв'язку з чим учений зробив спробу створити математичний апарат для опису актуально нескінченних множин.
Стосовно інших математиків, то якщо вони й говорили про нескінченність, то лише як про потенційну, що може стати меншою чи більшою за будь-яку задану величину, але яка водночас сама завжди лишається величиною скінченною, будь-якою «величезною» величиною. Інакше кажучи, потенційна нескінченність — це процес, який ніколи не буде завершений (а з незавершеного важко зробити щось завершене, придатне для чогось практичного).
У теорії Кантора найважливішим є те, що на операції з множинами й підмножинами не накладається жодних обмежень, зумовлених природою об'єктів, які входять до складу множин. У такому разі поняття теорії множин наближуються до понять математичної логіки.
Проте у теорії множин було виявлено ряд недоліків, названих парадоксами, або антиноміями (нерозв'язними суперечностями). Розглянемо, чим були викликані ці суперечності.
Зазвичай сама множина не є одним із своїх елементів. Наприклад, елементи множини всіх письменників — не множини, а конкретні індивідуальності. Зрозуміло, що сама множина не може належати до числа власних елементів. Множина письменників не є письменником. Щоправда, часто трапляються такі множини, елементами яких є також множини. Наприклад, в армії основними структурними елементами батальйону є роти, тобто певні множини солдат. Якщо рота є структурним елементом батальйону, то кожний такий елемент — множина. Проте множину (батальйон) не можна віднести до її власних елементів.
Об'єднавши в одну множину всі можливі множини, маємо щось дивне: множину, яка є власним елементом.
Математики в такій ситуації вважають, що упорядкована множина не може мати таку «абсурдну» властивість, оскільки упорядкованою називають множину лише в тому разі, якщо вона не є елементом самої себе. З'ясуємо, чи може множина всіх упорядкованих множин бути упорядкованою.
Якщо подібна множина упорядкована, вона має перебувати в одному ряді з іншими упорядкованими множинами, тобто бути серед власних елементів. Але тоді вона перестає бути множиною всіх упорядкованих множин. Щоб не загубитися серед множин, така множина має бути неупорядкованою.
Припустімо, що таке можливо. Тоді, якщо множина всіх упорядкованих множин не є упорядкованою, її не можна віднести до розряду своїх елементів — упорядкованих множин. Але саме в цьому разі множину називають упорядкованою.
Виникло замкнене коло: якщо множина упорядкована, то вона неупорядкована, а якщо вона неупорядкована, то вона упорядкована.
Однак якщо теорія множин помилкова, то в математиці не залишається нічого бездоганного.
Це і так, і не так. Відомий угорський математик другої половини XX ст. Роза Петер указує на неможливість повністю зашпарувати те, що з'явилося в математичній будові після такого сильного струсу. Проте немає підстав для негативних висновків. Це — парадокс, але парадокс, який можна пояснити.
Одна з найвідоміших проблем канторової теорії мно-{ жин пов'язана з так званою гіпотезою континууму (континуум-гіпотезою).
Якщо елементи двох множин можна поставити парами так, щоб жоден елемент якоїсь із множин не залишився! без пари, то вважається, що ці дві множини мають однакову потужність.
Розглянемо приклад. Натуральні числа є лише частиною множини раціональних чисел. Це зрозуміло. Поганої зрозуміло інше, а саме: потужність множини всіх раціо-І нальних чисел дорівнює потужності множини всіх натуральних чисел. Подібний феномен пояснюється тим, що логічні принципи й поняття спираються не стільки на] досвід і спостереження, скільки на свої внутрішні закони, яким байдуже, що частина дорівнює цілому або «якщоі 2 + 2 = 4, то крокодили літають дуже низько».
Наближаючись до розгляду континуум-гіпотези, звернемося до множини всіх дійсних чисел. Ці числа роз-і міщені на числовій прямій неперервно й нібито злипаються. Тому потужність множини дійсних чисел називають потужністю континууму, де під словом «континуум» розуміють неперервність.
Відносно нескінченних потужностей можна сформуй лювати запитання: чи існує для кожної потужності така потужність, що виникає безпосередньо за нею? Так, існує.: Для цього ствердження Кантор узагальнив поняття звичайного числа й дістав поняття трансфінітного числа — числа, що виходить за межі скінченного.
Трансфінітні числа (нескінченні множини) поводяться, як і натуральні. Найменшою нескінченною потужністю; є потужність множини натуральних чисел.
Щодо прірви між зчисленною й континуальною нескін-1 ченностями зазначимо, що між будь-якими сусідніми числами натурального ряду є безліч точок числової прямої. Отже, прірва між зчисленною множиною та континуумом безмежна. Стосовно існування в такій прірві проміжних нескінченностей Кантор вважав, що нескінченних множин із проміжною потужністю не існує.
Проблема існування нескінченних множин із проміжною потужністю називається проблемою континууму, і поі в'язана вона з питанням про так звану аксіому вибору. Виникненню такої аксіоми передували вихідні положення канторової теорії множин, які не задовольняли одну з основних вимог математичної логіки — несуперечність системи аксіом, про що свідчать виявлені в ній суперечності.
Вихід із цієї ситуації вчені побачили в побудові такої аксіоматики, яка давала б усе, що треба, і нічого зайвого. І таку аксіоматику було побудовано. Вона дістала назву системи аксіом Цермело— Френкеля, на честь таких відомих учених, як Е. Цермело (1871— 1953) та А. А. Френкель (1891— 1965). Для успішної боротьби з суперечностями ці автори ввели спеціальну «обмежувальну» аксіому, яка забороняла існування множин, що зумовлюють нерозв'язні суперечності. Дана аксіома підтвердила погляди Кантора щодо відсутності проміжних потужностей між зчисленною множиною та континуумом.
На запитання стосовно суперечності чи несуперечності аксіоми вибору іншим вихідним аксіомам теорії множин відповів австрійський математик К. Гедель (1906— 1978)7 Він показав, що, приймаючи істинність континуум-гіпо-тези, у теорію множин неможливо ввести ніяких суперечностей. Отже, річ у виборі аксіом. З часом аксіоматичний метод у теоретичних науках рішучіше просувався вперед.
Відомо, що Гаусе був першим математиком, якому спало на думку, що заперечення евклідового постулату про паралельні прямі не призводить до суперечності, і, отже, можливі неевклідові геометрії.
Хоча після Лобачевського й Бояї більшість математиків визнала можливість побудови різних неевклідових геометрій, деякі з них так і не спромоглися зрозуміти, що інші аксіоми Евкліда також є в певному розумінні довільними припущеннями. Однак зростало число вчених, які наважилися на «експеримент» з математикою. Один із них, німецький математик М. Паш (1843— 1930), спробував звести геометрію до вправ у логічному синтаксисі, а інший, італійський математик Д. Пеано (1858— 1932), — перекласти роботу Паша на винайдену мову символічної логіки, взявшися за обчислення співвідношень між логічними змінними.
У працях Кантора було викладено теорію так званих трансфінітних кардинальних чисел. Ця теорія грунтується на систематичному використанні математичного поняття актуальної нескінченності, у зв'язку з чим учений зробив спробу створити математичний апарат для опису актуально нескінченних множин.
Стосовно інших математиків, то якщо вони й говорили про нескінченність, то лише як про потенційну, що може стати меншою чи більшою за будь-яку задану величину, але яка водночас сама завжди лишається величиною скінченною, будь-якою «величезною» величиною. Інакше кажучи, потенційна нескінченність — це процес, який ніколи не буде завершений (а з незавершеного важко зробити щось завершене, придатне для чогось практичного).
У теорії Кантора найважливішим є те, що на операції з множинами й підмножинами не накладається жодних обмежень, зумовлених природою об'єктів, які входять до складу множин. У такому разі поняття теорії множин наближуються до понять математичної логіки.
Проте у теорії множин було виявлено ряд недоліків, названих парадоксами, або антиноміями (нерозв'язними суперечностями). Розглянемо, чим були викликані ці суперечності.
Зазвичай сама множина не є одним із своїх елементів. Наприклад, елементи множини всіх письменників — не множини, а конкретні індивідуальності. Зрозуміло, що сама множина не може належати до числа власних елементів. Множина письменників не є письменником. Щоправда, часто трапляються такі множини, елементами яких є також множини. Наприклад, в армії основними структурними елементами батальйону є роти, тобто певні множини солдат. Якщо рота є структурним елементом батальйону, то кожний такий елемент — множина. Проте множину (батальйон) не можна віднести до її власних елементів.
Об'єднавши в одну множину всі можливі множини, маємо щось дивне: множину, яка є власним елементом.
Математики в такій ситуації вважають, що упорядкована множина не може мати таку «абсурдну» властивість, оскільки упорядкованою називають множину лише в тому разі, якщо вона не є елементом самої себе. З'ясуємо, чи може множина всіх упорядкованих множин бути упорядкованою.
Якщо подібна множина упорядкована, вона має перебувати в одному ряді з іншими упорядкованими множинами, тобто бути серед власних елементів. Але тоді вона перестає бути множиною всіх упорядкованих множин. Щоб не загубитися серед множин, така множина має бути неупорядкованою.
Припустімо, що таке можливо. Тоді, якщо множина всіх упорядкованих множин не є упорядкованою, її не можна віднести до розряду своїх елементів — упорядкованих множин. Але саме в цьому разі множину називають упорядкованою.
Однак якщо теорія множин помилкова, то в математиці не залишається нічого бездоганного.
Це і так, і не так. Відомий угорський математик другої половини XX ст. Роза Петер указує на неможливість повністю зашпарувати те, що з'явилося в математичній будові після такого сильного струсу. Проте немає підстав для негативних висновків. Це — парадокс, але парадокс, який можна пояснити.
Одна з найвідоміших проблем канторової теорії мно-{ жин пов'язана з так званою гіпотезою континууму (континуум-гіпотезою).
Якщо елементи двох множин можна поставити парами так, щоб жоден елемент якоїсь із множин не залишився! без пари, то вважається, що ці дві множини мають однакову потужність.
Розглянемо приклад. Натуральні числа є лише частиною множини раціональних чисел. Це зрозуміло. Поганої зрозуміло інше, а саме: потужність множини всіх раціо-І нальних чисел дорівнює потужності множини всіх натуральних чисел. Подібний феномен пояснюється тим, що логічні принципи й поняття спираються не стільки на] досвід і спостереження, скільки на свої внутрішні закони, яким байдуже, що частина дорівнює цілому або «якщоі 2 + 2 = 4, то крокодили літають дуже низько».
Наближаючись до розгляду континуум-гіпотези, звернемося до множини всіх дійсних чисел. Ці числа роз-і міщені на числовій прямій неперервно й нібито злипаються. Тому потужність множини дійсних чисел називають потужністю континууму, де під словом «континуум» розуміють неперервність.
Відносно нескінченних потужностей можна сформуй лювати запитання: чи існує для кожної потужності така потужність, що виникає безпосередньо за нею? Так, існує.: Для цього ствердження Кантор узагальнив поняття звичайного числа й дістав поняття трансфінітного числа — числа, що виходить за межі скінченного.
Трансфінітні числа (нескінченні множини) поводяться, як і натуральні. Найменшою нескінченною потужністю; є потужність множини натуральних чисел.
Щодо прірви між зчисленною й континуальною нескін-1 ченностями зазначимо, що між будь-якими сусідніми числами натурального ряду є безліч точок числової прямої. Отже, прірва між зчисленною множиною та континуумом безмежна. Стосовно існування в такій прірві проміжних нескінченностей Кантор вважав, що нескінченних множин із проміжною потужністю не існує.
Проблема існування нескінченних множин із проміжною потужністю називається проблемою континууму, і поі в'язана вона з питанням про так звану аксіому вибору. Виникненню такої аксіоми передували вихідні положення канторової теорії множин, які не задовольняли одну з основних вимог математичної логіки — несуперечність системи аксіом, про що свідчать виявлені в ній суперечності.
Вихід із цієї ситуації вчені побачили в побудові такої аксіоматики, яка давала б усе, що треба, і нічого зайвого. І таку аксіоматику було побудовано. Вона дістала назву системи аксіом Цермело— Френкеля, на честь таких відомих учених, як Е. Цермело (1871— 1953) та А. А. Френкель (1891— 1965). Для успішної боротьби з суперечностями ці автори ввели спеціальну «обмежувальну» аксіому, яка забороняла існування множин, що зумовлюють нерозв'язні суперечності. Дана аксіома підтвердила погляди Кантора щодо відсутності проміжних потужностей між зчисленною множиною та континуумом.
На запитання стосовно суперечності чи несуперечності аксіоми вибору іншим вихідним аксіомам теорії множин відповів австрійський математик К. Гедель (1906— 1978)7 Він показав, що, приймаючи істинність континуум-гіпо-тези, у теорію множин неможливо ввести ніяких суперечностей. Отже, річ у виборі аксіом. З часом аксіоматичний метод у теоретичних науках рішучіше просувався вперед.
Відомо, що Гаусе був першим математиком, якому спало на думку, що заперечення евклідового постулату про паралельні прямі не призводить до суперечності, і, отже, можливі неевклідові геометрії.
Хоча після Лобачевського й Бояї більшість математиків визнала можливість побудови різних неевклідових геометрій, деякі з них так і не спромоглися зрозуміти, що інші аксіоми Евкліда також є в певному розумінні довільними припущеннями. Однак зростало число вчених, які наважилися на «експеримент» з математикою. Один із них, німецький математик М. Паш (1843— 1930), спробував звести геометрію до вправ у логічному синтаксисі, а інший, італійський математик Д. Пеано (1858— 1932), — перекласти роботу Паша на винайдену мову символічної логіки, взявшися за обчислення співвідношень між логічними змінними.
