Вступ до сучасної логіки

§ 12. Індуктивні й дедуктивні умовиводи

Є два основні види умовиводів — індуктивні й дедуктивні. У коректному дедуктивному виведенні висновок з необхідністю випливає з посилок. Структуру цього виведення можна схарактеризувати так: дедуктивне виведення — це умовне висловлення, антецедент якого являє собою кон'юнкцію всіх посилок міркування, а кон-секвент — його висновок. Коректним це дедуктивне виведення буде тоді, коли умовне висловлення буде логічно істинним.

Стосовно коректного індуктивного виведення зауважимо, що сучасні логіки безуспішно намагаються дати точне його означення. Річ у тім, що висновок індуктивного виведення стверджується не жорстко й однозначно, а лише з деякою правдоподібністю чи вірогідністю. Це є характерною, але не обов'язковою рисою індуктивних міркувань. Іншою характерною рисою таких міркувань є те, що одержані за їхньою допомогою висновки часто виходять за межі посилок, тобто містять більше інформації (в результаті узагальнень), ніж її було в посилках. Це й створює труднощі в разі аналізу індукції.

Розглянемо особливості виведення у логіці висловлень. Головна особливість полягає в тому, що в логіці висловлень аналізується тільки структура складних висловлень, а прості висловлення вважаються структурно нерозкладними. Тому коректні дедуктивні виведення будуються тільки на основі встановлення логічних зв'язків між висловленнями.

Позначимо великими літерами латинського алфавіту формули логіки висловлень, які містять прості й складні висловлення. Логічна форма висловлення береться в дужки, перед якими ставиться відповідна велика літера. Для спрощення запису формул вважатимемо, що вони передбачають певний порядок своїх змінних, які містяться в дужках.

Логічна формула в логіці висловлень не характеризується таблицями істинності. Це важливо мати на увазі. Замість таблиць істинності користуються певними правилами виведення.

Згадаємо про вираз «(= Ах & А2 & ... & Ап -» В». Частину цього виразу, що міститься перед символом імплікації, домовимося вважати аксіомами логіки висловлень. Вид цієї частини загального виразу назвемо схемами аксіом, або аксіоматичними схемами. Вважається, що кожна схема аксіом містить нескінченне число аксіом, тип яких відповідає даній схемі.

Це необхідно для того, щоб зробити доведення об'єктом аналізу в межах теорії доведень (метаматематики). У мета-] математиці як єдино надійне правило виведення, що має] назву правила відокремлення, приймається процедура переходу від двох формул виду А і А —> В до однієї формули В. В умовиводі за цим правилом А і А -> В є посилками, а В — висновком.

Правило відокремлення (латинська назва! «modus ponens») встановлює: якщо істинні два висловлен-4 ня, з яких одне має форму імплікації (а -> Ь), а інше є антецедентом (а) цієї імплікації, то і висловлення, що| містить консеквент (Ь) імплікації, істинне. У даному випадку ніби відокремлюється антецедент від консеквентаі що й виражено переходом від двох формул (А і А -» В) до] однієї (В).

У традиційній логіці умовивід — це одержання висловлень (висновків), виходячи з наявних висловлень (посилок).

Вважається, що між посилками й висновком існує\ певний зв'язок: висновок має випливати з посилок.

Зв'язок між посилками й висновком відбивається у правилах виведення, функція яких полягає у вказуванні на| те, у який спосіб вихідні висловлення із встановленою істинністю можна видозмінити так, щоб дати при цьом)! нові істинні висловлення.

Якщо мова йде про правила дедуктивного умовиводу, слід додержувати умови: якщо істинні посилки, то й висновок істинний. Наприклад:

Посилка 1. Усі люди смертні.

Посилка 2. Сократ — людина.

Висновок: Сократ смертний.

Тут двічі згадується про те, що людина не вічна («люди смертні», «Сократ смертний»). Позначимо факт щодо смертності літерою С Двічі згадується й про людських істот («люди», «людина»). Цей факт позначимо літерою Л. Факт, що Сократ був відомим грецьким філософом, позначимо літерою Ф. Тепер запишемо силогізм, користуючись мінімумом мовних засобів:

Посилка 1. Усі Л є С.

Посилка 2. Певний Ф є 77.

Висновок: Певний Фє С.

Висловлення «Певний Фє С» можна прочитати ще так: «Філософ Сократ — істота смертна».

Оскільки у логіці висловлень цікавим є не зміст висловлень, а форма їх зчеплення, то правила умовиводів розглядаються тільки як правила перетворення символів логічної мови.

Для наочного зображення правила умовиводів схематично записують за допомогою риски, над якою пишуть посилки, а під нею — висновок. Якщо посилок дві й більше, їх записують одну під одною.

Деякі правила умовиводів відповідають константам логіки висловлень (кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація). Тому іноді для визначення істинності висновку до них можна застосовувати таблиці істинності, щоправда, число таких випадків дуже обмежене.

Такий висновок маємо, якщо дотримуватися «логіки» першої посилки, звертаючи увагу на зміст висловлень. УІ цьому випадку таблиця істинності не спрацьовує: ХОЧІ імплікація першої посилки істинна, вона суперечить здо-і ровому глуздові.

Щоб не заплутатися у таких логічних хитросплетеннях, під час розгляду правил умовиводів у логіці висловлень] пропонується абстрагуватися від значень істинності по-І силок і висновку. Слід також запам'ятати, що фундаментом правила умовиводу є імплікація, яка має бути загаль-нозначущою. Якщо імплікація загальнозначуща, то можна одержати надійну інформацію про її складові частини (прості висловлення) і про зв'язки між їхніми значеннями істинності. Наприклад, якщор-> дірє істинними вислов-| леннями, то д також є істинним висловленням («modusa ponens»). Отже; маємо правило умовиводу: з істинності р —> q і р можна зробити висновок про істинність д.