Вступ до сучасної логіки

§ 21. Конструктивна логіка

Значний внесок у розвиток конструктивної математики й логіки належить А. А. Маркову (1903— 1979). Марков, як і Брауер, критично ставився до теорії множин Кантора й відмовлявся визнавати її за основу для побудови математики, запропонувавши будувати її конструктивно.

Найпростішим прикладом конструктивного процесу, на думку Маркова, є побудова ряду вертикальних рисочок (|

), які креслять зліва направо одну за одною. Результатом подібного конструктивного процесу є так званий конструктивний об'єкт, зображений у наведеному випадку шістьма вертикальними рисочками. Ряди рисочок, разом із порожнім рядом, що не містить рисочок взагалі, можна назвати натуральними числами. Тоді натуральне число, зображене шістьма рисочками, можна записати за допомогою арабської цифри «6». Натуральне число, зображене порожнім рядом, називатимемо нулем і запишемо цифрою «0».

Замість рисочок можна вживати елементарні знаки інших типів. Конструктивний процес буде таким самим, тобто спочатку пишуть перший елементарний знак, потім приписують до нього справа інший елементарний знак і т. д. До розряду таких елементарних знаків можна віднести літери будь-якого алфавіту. Як підкреслює Марков, самі літери не треба означати за Арістотелем (наприклад: «через найближчий рід і видову відмінність»). Тут не є головним питання про те, що таке літера взагалі. Конструктивісту цілком досить того, що кожного разу, починаючи щось будувати, він вважатиме такі-то й такі-то знаки елементарними, маючи на увазі, що потрібні йому вирази будуватимуться з цих елементарних знаків.

Скінченний набір літер може задаватися тим чи іншим списком. Такі списки називатимемо алфавітами, а ряди літер алфавіту — словами. Подібним чином побудовані слова будуть прикладом конструктивних об'єктів. При цьому математикам байдуже, що деякі із «слів» конструктивного «словника» будуть чимось зовсім нісенітним для лінгвістів, наприклад папагіглема.

Розглянемо, як з цієї позиції можна охарактеризувати вживане у математиці й в математичній логіці поняття числення.

Зазвичай починають з аксіом, потім вказують правила виведення. Виходячи з аксіом і користуючись правилами виведення, здійснюють сам процес виведення. Виведення, що має своїм останнім членом певний об'єкт, називається виведенням цього об'єкта. Об'єкт вважають виведеним у численні, якщо може бути побудований його висновок у цьому численні. Таким чином, виведення об'єкта можна розглядати як його побудову.

Далі з'ясуємо, що має означати у контексті конструктивної математичної логіки поєднання математичного терміна «числення» з логічним терміном «висловлення» («пропозиція»).

Почнемо зі слова «висловлення», яке взято з природної мови. Інтуїція підказує, що числення висловлень — це особлива мова.

У логічних мовах правила побудови висловлень формулюються точно, але по-різному. При цьому деякі правила кваліфікують певні логічні «слова», точніше — вирази, як висловлення. Інші правила дають змогу будувати нові висловлення з уже побудованих. У конструктивній математичній логіці висловленнями вважаються ті об'єкти, які можна побудувати за даними правилами.

Ці правила становлять синтаксис штучної логічної мови. У граматиці природних мов під синтаксисом (грец. syntaxis — побудова, зв'язок) розуміють правила поєднання слів у реченні.

Проте мало знати правила синтаксису природної чи штучної мови. Треба знати, що виражає те чи інше висловлення. Ставлячи запитання про розуміння висловлень, переходимо від синтаксису мови до її семантики (грец. semantikos — той, що означає), тобто до смислового боку мови.

Щоб висловлення стали зрозумілими, особливо тоді, коли це стосується іноземних чи різних наукових мов, зокрема й мови логіки, слід укласти деякі семантичні угоди. Такі угоди допомагають зрозуміти, про що йдеться у тому чи іншому висловленні. Розуміння змісту висловлень дає змогу ставити запитання про їхню істинність, тобто запитувати, чи насправді має місце те, про що інформує висловлення. Висловлення вважають істинним, якщо те, про що воно повідомляє, дійсно має місце. У протилежному випадку воно вважається ложним.

Семантичні угоди утворюють семантику даної мови.

Отже, будь-яку мову можна розглядати як таку, що складається з двох частин — синтаксису й семантики. Зазначимо, що в логіці «синтаксис» і «семантика» є дуже специфічними поняттями, відмінними від їхніх аналогів у граматиці природної мови. Відмінність така істотна, що логіки жартома називають природні мови «поганими», «невдалими» штучними мовами. Цим самим неявно підкреслюється, що до «хороших» штучних мов, таких як мова математичної логіки, застосовне поняття «числення», тобто мовою логіки можуть користуватися математики, у тому числі й представники конструктивного напряму.

У XX ст. математик П. С. Новиков (1901— 1975) зазначав", що конструктивна логіка з'явилася у зв'язку зі спробами звільнити математичне мислення від неефективних методів.

Типовим виявом неефективності у класичній математиці є такі доведення існування математичних об'єктів із заданими властивостями, які не дають змоги здійснити конструктивну побудову індивідуального об'єкта з цими самими властивостями.

Розглянемо теореми про істинність висловлень, побудованих у формі диз'юнкції. Річ у тім, що традиційні методи доведення не сприяють однозначному визначенню, який член диз'юнкції дійсно істинний. Перепоною на цьому шляху, як неважко здогадатися, є закон виключеного третього. Новиков ілюструє це на такому прикладі. Нехай р — це висловлення «велика теорема Ферма істинна». Приймаючи закон виключеного третього, маємо вважати доведеним висловлення форми р у -і р. Однак таке доведення ні на крок не наближає до знання того, який саме член цієї диз'юнкції насправді істинний. Зрозуміло, якби подібне знання було одержано, то проблему Ферма було б розв'язано. Тому, за Новиковим, конструктивний підхід диктує інше, ніж у класичній математиці, осмислення основних логічних понять. У зв'язку з цим конструктивісти прагнуть по-своєму виправдати поняття потенційної нескінченності, на яке зробив замах Г. Кантор.

Здійснюючи конструктивні процеси, на думку Маркова, часто можна наштовхнутися на перешкоди, пов'язані з нестачею часу, місця й матеріалу. На жаль, конструктивні можливості людини не є безмежними. Та дечим можна знехтувати й міркувати так, начебто цих перешкод не було. Це абстрагування від обмеженості реальних можливостей називають абстракцією потенційної здійсненності. Така абстракція дає змогу міркувати про як завгодно довгі конструктивні процеси й як завгодно великі конструктивні об'єкти.

Тим часом класична математика використовує абстракції, які набагато переважають абстракції конструктивної математики. Наприклад, вона користується абстракцією «актуальна нескінченність», що дає підставу говорити про «нескінченні множини» як про закінчені неконструктивні (непобудовані) об'єкти.

Особливе місце у математиці належить теоремам існування, які стверджують існування абстрактних об'єктів, що задовольняють відповідні вимоги. Що стосується конструктивної математики, то проблему існування вона розв'язує, виходячи з того, що побудова конструктивних об'єктів потенційно здійсненна, тобто відомий певний спосіб їхньої побудови (конструювання).

Конструктивне тлумачення теорем існування розходиться з розумінням їх у класичній математиці. Наприклад, представники класичної математики вважають за можливе стверджувати існування абстрактного об'єкта тоді, коли вдається за допомогою доведення reductio ad absurdum (лат. — зведення до нісенітності) спростувати припущення про те, що жоден об'єкт не задовольняє висунутої вимоги. Характерно, що конструктивний спосіб побудови шуканого абстрактного об'єкта може при цьому й не бути відомим, хоча й потенційно припустимим.

Як уже зазначалося, у логічному плані конструктивна математика відрізняється від класичної (у її теоретико-множинній інтерпретації) розумінням диз'юнкції. У конструктивній математичній логіці диз'юнкцію розуміють як здійсненність вказування істинного її елемента. Інакше кажучи, у такому разі диз'юнкцію трактують як потенційну здійсненність конструктивного процесу, що дає один з елементів диз'юнкції, який буде істинним.

Стосовно «класиків», то вони вважають диз'юнкцію істинною тоді, коли їм вдається спростувати припущення про те, що жоден з її елементів не є істинним. З цього приводу Марков іронічно зауважував, що «класики» не турбують себе поясненнями розуміння диз'юнкції і, як наслідок, не турбуються про вміння знаходити істинний елемент диз'юнкції.

Отже, конструктивна математика потребує окремої логіки, відмінної від логіки, що базується на теоретико-множинних уявленнях, в основі яких лежить поняття актуальної нескінченності.

На думку Маркова, в ідеї неєдиності логіки немає нічого дивного чи крамольного. Практика свідчить, що всі людські міркування не можуть і не повинні керуватися одними й тими самими законами. Проте це не означає, що конструктивісти зневажливо ставляться до класичної спадщини. Завдання побудови конструктивної математичної логіки вони вбачають не в тому, щоб усе зруйнувати й потім починати «з нуля», а в тому, щоб розв'язувати проблеми відповідним тлумаченням уже відомого.