Вступ до сучасної логіки

За допомогою слова «модальність» (лат. modus — спосіб, відношення) позначається певний спосіб ставлення суб'єкта, який висловлюється, до предмета висловлення.

Колись німецький філософ І. Кант, дотримуючись традицій, до модальних суджень відносив асерторичпі (ті, що констатують факти дійсності, але не виражають їх незаперечну логічну необхідність), проблематичні (ті, що виражають можливість) і аподиктичні (ті, що виражають необхідний зв'язок між предметами) судження. Ці три види суджень не вичерпують усієї різноманітності можливих відношень модальності. Наприклад, прохання, накази, команди, клятви також виражають певні ставлення того, хто їх висловлює, до предметів висловлення, але в традиційній логіці вони не знаходять собі місця. Зазначимо також, що не завжди можна визначити відмінності між дійсним і необхідним, бо іноді й випадковість набуває статусу дійсності. Тому протягом певного часу представники математичної логіки вважали, що модальність — це предмет скоріше психологічного, ніж строго логічного вивчення.

У XX ст. ставлення логіків до модальності різко змінилося: вони піддали її всебічному, глибокому й систематичному логіко-філософському аналізу. Вагомий внесок було зроблено американським логіком К. І. Льюїсом, який озброївшись досягненнями сучасної йому символічної логіки, у своїх публікаціях 1916 і 1932 pp. подав формалізовану систему класичних модальностей і спробував побудувати теорію строгої імплікації. Основна ідея Льюїса полягала в проведенні розрізнення між зв'язками, що виражають логічну необхідність, і зв'язками, що її не виражають. У результаті було виразно позначено розмежування матеріальної (інтуїтивно-змістовної) і строгої (необхідної) імплікацій.

Будуючи свою теорію модальностей, Льюїс намагався випробувати на міцність різні аксіоматичні системи, які пізніше дістали назву систем SI, S2, S3. Пізніше ідеї Льюїса були розвинені в логічних системах S4 і S5. При цьому логіки звернули увагу на давно відомий факт щодо «суперпозицій» модальностей вигляду «необхідно, що необхідно...», «необхідно, що можливо...», які є дуже цінними для логіки та її практичних застосувань. Тому вчені спробували сформулювати аксіоми, які дають змогу зводити (редукувати) модальності до певного їх числа чи до модальностей певної форми.

Можна сказати, що Льюїс побудував числення так званих алетичних модальностей, котрі дають змогу вивчати проблеми логічного слідування, бо вчений вважав, що логічне слідування тісно пов'язане з поняттями необхідності й можливості. Щоправда, згодом виявилося, що побудовані числення строгої імплікації не вносять істотної ясності у проблему логічного слідування, проте вони мають велике значення для вдосконалення логічного інструментарію.

Сьогодні модальна логіка є досить розвиненою галуззю формальної логіки.

На думку відомого західного вченого Р. Фейса, модальна логіка, або логіка модальностей, вивчає не тільки твердження й заперечення, а й так звані сильні та слабкі твердження й заперечення. До сильних належать твердження типу «Це необхідно істинне», «Це необхідно ложне». До слабких належать твердження типу «Це можливо істинне», «Це можливо ложне». Логічні константи, аналогічні словам «необхідно», «можливо» тощо, називаються модальностями, або модальними операторами.

Модальні оператори тісно пов'язані з розумінням суті імплікації.

Імплікація «якщо р, то q», котра ложна тільки тоді, коли р істинне, a q ложне, дістала назву матеріальної.

Матеріальна імплікація дивує своїми несподіванками. Так, з позиції логіки й всупереч здоровому глузду висловлення «Якщо 2 + 2 = 5, то Париж — столиця Франції» є істинним, оскільки істинним є просте висловлення (кон-секвент): «Париж — столиця Франції». З'ясуємо, як це виходить.

Поняття типу «р необхідно» і «q можливо» виникають у тих областях логічних міркувань, де, за словами Кліні, допускаються два види «істинності», один із яких має більш універсальний і «примусовий» характер, ніж другий. Наприклад, з погляду математиків, неможливо, щоб 2 + 2 = 5, але можливо, щоб з географічних карт зникло Аральське море (це суперечить законам природи, а не бюрократичній сваволі). Зоолог, за Кліні, може стверджувати, що існування саламандр, які живуть у вогні, неможливе, проте можливо (хоч і неправдоподібно), що існує снігова людина. Вивчає ці химери модальна логіка, у розвиток якої зробили великий внесок X. МакКолл, К. І. Льюїс, К. Г. Ленгфорд та ін.

Здавна логіки намагалися зробити відношення «якщо..., то...», яке має важливе значення у формулюванні наукових законів, більш виразним, перетворивши матеріальну імплікацію на формальну. Саме з цією метою Льюїс і побудував низку логічних систем, що містять модальні оператори.

До основних модальностей належать оператор необхідності, позначений символом U, і оператор можливості, позначений символом 0. Читаються ці оператори відповідно так: «необхідно, що...», «можливо, що...».

Для строгої імплікації та строгої еквіваленції (еквівалентності) вживаються відповідні символи: => і .

Модальну логіку висловлень (модальну пропозиційну логіку) можна побудувати у вигляді розширення логічної системи немодального пропозиційного числення (немо-дальної логіки висловлень). Для цього беруться вже відомі змінні, зв'язки, аксіоми й правила виведення, до яких додаються символи U і 0 та відповідні їм постулати. Ідея цих постулатів полягає в тому, що висловлення модальної логіки не є категорично істинними чи ложними: вони істинні чи ложні у певних випадках, у деяких випадках або в усіх випадках. Інакше кажучи, логічне значення істинності складних висловлень, в яких використовуються модальні оператори, не визначається однозначно, як це має місце в класичній логіці висловлень. Наприклад, візьмемо висловлення «Число планет Сонячної системи дорівнює 9». Кожний школяр, який вивчає астрономію, скаже, що це висловлення істинне. Тепер розглянемо інше висловлення: «Необхідно, щоб число планет Сонячної системи дорівнювало 9». Зрозуміло, що у реальному фізичному світі не діє така жорстока необхідність, бо Випадок і Необхідність ідуть поруч.

Отже, у модальній логіці значення істинності складного висловлення не визначається однозначно значенням істинності висловлення, до якого застосовується модальний оператор. Тому модальні оператори не правлять за функції істинності.

Розглянемо прості висловлення форми р («р необхідне») і U р («необхідно, що р необхідне»). Якщо р ложне, то І р також ложне, оскільки вважається, що необхідне не може бути ложним. Але якщо р істинне, то U р може бути або істинним, або ложним. Наприклад, якщо висловлення форми р виражає, що 2 + 2 = 4, то і р, і U р істинні. Але якщо висловлення типу р виражає якийсь емпіричний факт, то дуже сумнівно, що висловлення типу U р виражає незаперечність і безумовність такого факту.

Для ілюстрації розглянемо висловлення «Це гидке лебедя — біле». Чи обов'язково лебедя, яке фігурує у цьому висловленні, буде протягом усього свого життя білим? Найвірогідніше, що воно справді матиме біле оперення, однак не слід нехтувати тим фактом, що деякі лебеді мають чорне пір'я. Це припускає, нехай і незначну, можливість того, що в результаті якихось мутацій біле лебедя може стати гарним чорним лебедем. Отже, якщо р ложне, то U р також ложне, але якщо р істинне, то U р залежно від ситуації або істинне, або ложне. Ось чому U р не є функцією істинності від р. З цього випливає, що модальний оператор необхідності U не є функціонально істиннісним.

Аналогічно, але тільки в протилежному значенні, поводиться модальний оператор можливості 0. Так, якщо р істинне, то 0 р також істинне, але якщо р ложне, то 0 р або істинне, або ложне. Наприклад, якщо р — ложне висловлення типу «Кожний гусокрад — гусолюб», то це не означає, що в одному з можливих світів 0 р також ложне.

У модальній логіці можна вживати квантори, але слід пам'ятати, що приєднання модальних операторів до формул, які містять квантори, породжує проблеми, пов'язані з використанням кванторів у модальних контекстах. Аналіз показує, що для модальних операторів U і 0 правильними є такі співвідношення:

VxU F(x) = UVxF(x); З xF(x) = 03 х F(x). З xU F{x) -^D3 x F(x); OVx F(x) -» VxOF(x).

Ці співвідношення справджуються стандартною теорією квантифікації. Щоправда, існують певні труднощі під час побудови теорії квантифікації саме для модальної логіки. Про деякі з них можна довідатися з виданої російською мовою книги Р. Фейса «Модальная логика».

Модальні оператори U і 0 не обов'язково треба розуміти як символи, що вказують на необхідність як на закон об'єктивної дійсності й на можливість як на об'єктивно можливе. У деяких випадках слово «необхідно» розуміють як «довідно», а «можливо» — як «незаперечно». Тоді вираз «необхідно, що р» означає, що р є вивідним чи довідним у деякій науковій теорії. Відповідно вираз «можливо, що р» означає, що не-р (~> р) не є вивідним чи довідним. В обох випадках мова йде про логіку алетичних модальностей.

Іноді LJ означає прийнятність деякого емпіричного твердження, а 0 — його неспростовність. У цьому випадку мають справу з індуктивними модальностями. Тому до модальної логіки можна віднести, з певними застереженнями, індуктивну логіку, що вивчає такі міркування, в яких висновки мають проблематичний характер, навіть якщо всі посилки істинні. Індуктивні логічні числення містять спеціальні модальні оператори.

Іноді U означає «скрізь» чи «завжди», а 0 — «подекуди» чи «іноді». У такому випадку йдеться про просторово-часові модальності, котрі вживаються в так званій часовій логіці.

Одним із важливих розділів модальної логіки є деон-тична (у перекладі з давньогрецької мови означає «як має бути») логіка, що вивчає вирази типу «обов'язково», «дозволено», «заборонено» тощо. У деонтичній логіці слово «необхідно» вживається у значенні «конче треба», а слово «можливо» — у значенні «допустимо». У контекстах, де трапляється така смислова трансформація слів «необхідно» і «можливо», «конче треба» і «допустимо», вказують, наприклад, на моральну чи юридичну повинність, допустимість. Нормативні вирази становлять предмет вивчення деонтичної логіки.

Окремим розділом модальної логіки є епістемічна (у перекладі з давньогрецької мови означає «знання») логіка, в якій вивчаються модальності типу «знаю», «вірю», «маю сумнів» і відповідні їм вирази: «хтось знає, що...», «хтось вірить у те, що...», «хтось має сумнів у тому, що...».

Усі наведені модальності мають як загальні риси, так і свої специфічні особливості. З урахуванням наявності останніх слід мати на увазі, що перелічені аспекти модальностей формально незвідні один до одного, хоч і не відокремлені нездоланною стіною.

Біля витоків сучасної модальної логіки стоїть Георг Хенрік фон Врігт, який своїми логіко-філософськими працями справив сильний вплив на розвиток теоретичної думки у Скандинавських країнах, Великобританії та США.

У 1951 р. фон Врігт висунув ідею побудови деонтичної логіки. На думку спеціалістів, саме цьому вченому належить перше й найсерйозніше дослідження у даній галузі. Спроби осмислити проблеми деонтичної логіки наштовхнули фон Врігта на думку про потребу розробки логічної теорії дій людини, логіки переваг і оцінок.

Логіко-філософський аналіз дій людини має надзвичайну значущість як з теоретичного, так і з практичного боків. По-перше, такий аналіз сприяє розвиткові концептуального апарату деонтичної логіки. По-друге, за допомогою подібного аналізу логіки мають вихід на етику, аксіологію (науку про цінності), юриспруденцію.